Человек, привыкший к десятичной системе записи чисел (системы исчисления). Эта система постепенно совершенствовалась на протяжении тысячелетий, начиная с Вавилона и Индии. В Средневековье она стала известная арабам и благодаря ним пришла в Европу. В десятичной системе есть десять знаков — цифр, которыми записывают числа от 0 до 9. Большие числа записывают теми самыми знаками, но не одним, а двумя и больше, т.е. число записывают как последовательность знаков. В этой последовательности знаки имеют разные позиции поэтому цифра по правую сторону обозначает количество единиц, следующее -количество десятков, и так далее. Итак, одна и та самая цифра в зависимости от позиции имеет «разный вес». Например, в записи 32 цифра 2 задает две единицы, а в записи 23 -два десятки. Поэтому эту систему записи чисел называют позиционной.
История человечества оставила в наследство не только десятичную систему записи чисел. В некоторых странах люди и до сих пор подсчитывают предметы дюжинами (12 предметов) тягросами (12 дюжин). Для записи чисел в такой системе нужны 12разных знаков. Некоторые народы использовали 60разных знаков, некоторые — пять.
Все указанные системы имеют разные количества знаков (10,12,60, 5), которые называются основами.
Кроме позиционных систем, известные и непозиционные. Некоторое употребление и до сих пор мж римская система исчисления, которая возникла в Давнем Риме. В этой системе запись следующего числа образовывается не новой цифрой, а добавлением цифры: І, II, III, поэтому ее называют адитивною. Конечно, правила образования записей чисел этим не исчерпываются; они намного более сложные, чем в позиционных системах, и рассматривать их подробнее не будем. Особенно неудобно в римской системе выполнять арифметические операции, и недаром она не стала «рабочей» для человечества.
Возвратимся к позиционной десятичной системе. Цифру по правую сторону в записи числа называют младшей («она записана в младшем разряде»), по левую сторону — старшей. Разряд единиц называют нулевым, разряд десятков — первым, сотен -вторым и т.п.. За такой нумерации вес разряда отвечает степени числа 10: единица — это 10°,десяток — это 10и,сотня — это 102 и т.п..
Итак, расположение цифры в тому или другому разряде является прямым указанием, на которую степень числа 10 надо помножить цифру. Отсюда число можно записать как сумму произведений цифр числа на соответствующие степени десятки. Например,
- 5834 = 5-Ю3+ 8-102 + 3-10’+4-10°.
Если запись числа имеет дробовую часть, то прибавляются цифры, делимые на число 10в соответствующей степени, например,
0,234 = 2 .J- + 3—!- + 4 ~ 10 102 103
Рассмотрим какую-нибудь позиционную систему исчисления с основой, отличной от 10, например, 7.
Аналогично к десятичной, эта система должна иметь такие свойства:
• для записи чисел есть семь цифр 0,1,2,3,4,5,6;
• значение цифры зависит от ее расположения (позиции) в записи;
• вес каждого разряда числа является соответствующей степенью семерки.
Итак, первые числа записываются как 0,1,…, 6, а дальше идут записи 10,11, …, 16,20,21, …,66,100,… .Семеричное 10 — это обычное десятичное 7 (но же нет такого знака в сімковій системе!), Семеричное 11 -это обычное 8,20-это обычное десятичное 14, т.е. дважды по 7, и т.п.. А Семеричное 100 и 200 — это десятку 49 и 98, т.е. один и два раза по 7 в квадрате.
А теперь подадим суммами степеней семерки такие числа (о сімковий запись свидетельствует маленькая цифра 7 возле числа):
3427=3-72+4-7’+2-7° 63017=6-73+3-72+0-7’+1-7
2. Преобразование чисел из недесятичной системы в десятичную
1 2 0,127= —+ — 32,56, =3-7’+2-7°+4 + 7
Этот способ записи используется в позиционных системах исчисления с любой основой (больше 1). Вопрос в том, какие знаки являются цифрами. Если основа не больше десяти, используют обычный набор десятичных цифр (из него берут столько знаков, сколько надо). Тем не менее для системы с основой больше десяти нужны дополнительные знаки, чтобы обозначать десятичные числа 10,11, … .
В XX столетии для этого стали использовать последовательные прописные буквы латинского алфавита -А, В, С.
Примеры. В двоичной системе исчисления лишь две цифры — 0 и 1.
Двоичная запись 1101 обозначает число 1 • 23 +1 • 22 + 0 • 2и +1-2° =13, запись
0,101-число 1-2″‘+0-2-2+1-2-3 =0,625.
Сочинение! Обязательно сохрани - » Позиционные системы исчисления . Потом не будешь искать!
Запись была опубликована
08.10.2009 в 14:49 в категории Изучаем информатику.
Вы можете следить за ответами в этой записи через RSS 2.0 ленты.
Загрузка...