Немного математики и рисования

Разумеется, в этой статье мы не будем использовать сложный математический инструментарий. Те немногие понятия математики, к которым мы прибегнем, можно будет рассматривать просто как занимательные картинки. Одно из таких понятий — функция. Для читателей, не использующих в своей работе математический аппарат, этот термин мгновенно ассоциируется с картинкой, на которой начертаны две оси координат и какая-то линия — график некоторой функции. В общем, это представление верно. Однако здесь нелишне его уточнить. Математики называют еловом «функция» любой закон соответствия между переменными величинами, когда одной мз них (ее называют независимой переменной, или аргументом функции, и обозначают х) ставится в соответствие другая (ее называют зависимой переменной, или значением функции, и обозначают у).

Возьмем какое-либо значение аргумента и отложим его на горизонтальной оси координат. Возьмем затем значение функции, соответствующее этому аргументу, и отложим на вертикальной оси. Отметим на координатной плоскости точку с такими координатами. Беря все новые значения аргумента и нанося на координатную плоскость все новые точки, мы получим некоторый график — наглядный образ функции, закона соответствия между независимой и зависимой переменными. График функции может содержать особые точки. Бывает, что кривая сначала опускается, а затем поднимается. Участки спада и нарастания стыкуются в точке минимума. Бывает и наоборот: кривая сначала поднимается, а затем опускается. Точка стыка восходящего и нисходящего участков называется точкой максимума. Бывает, что кривая изгибается сначала в одну сторону, а потом в Другую; там, где она сменяет направление поворота, находится точка перегиба.

Наконец, график функции может претерпевать разрывы. Например, кривая обрывается на какой-то высоте и продолжает свой ход, скачкообразно поднявшись или опустившись. Или же по мере приближения аргумента к какому-либо значению кривая графика уходит в бесконечность, положительную или отрицательную, а перевалив за это значение аргумента, мы замечаем, как кривая возвращается из бесконечности — опять-таки либо из положительной, либо из отрицательной.

Изображая любую из функций, о которой речь шла до сих пор, мы каждый раз брали две оси координат; одна для значения аргумента, другая для значений функции.

Но в математике рассматриваются и такие функции, у которых не один аргумент, а несколько, скажем, два, Здесь уже две оси координат нужны для того, чтобы откладывать на них аргументы. Каждой паре аргументов в этом случае ставится в соответствие определенное значение функции.

Ради наглядности две эти оси координат дополняют третьей и на ней откладывают значение функции. Три координаты (два аргумента да еще значение функции) определяют точку в пространстве. Перебирая все возможные сочетания аргументов и расставляя точки в пространстве, мы получим некоторую поверхность — наглядный образ функции двух переменных. На таких поверхностях тоже могут встретиться особые точки — точки минимума, максимума, бесконечного разрыва. Приведенные иллюстрации поясняют эти термины.